Банкроттук тобокелдиги
Максатка жеткиче бүт оюн капиталыңызды жоготуу ыктымалдуулугу.
Бирдей төлөмдүү коюмдар үчүн банкроттук тобокелдиги оюнчунун банкроттугу формуласына баш ийет. $500 оюн капиталы, $10дон коюмдар жана $600 максат менен сиз максатка болжол менен 57% учурда жетесиз, калганында банкрот болосуз.
Суроо
Сизде a бирдикакчаБирдикСистема же оюнчу иштеген негизги коюм. Прогрессиялар каалаган үстөлдө колдонулушу үчүн бирдиктер менен сүрөттөлөт.Толук окуу → оюн капиталыакчаОюн капиталыОюнга бөлүнгөн жалпы сумма. Оюн капиталын башкаруу — анын канчасын бир коюмга жана бир сессияга тобокелге салууну чечүү.Толук окуу → бар жана a + b бирдикке жеткиңиз келет, ар бир жолу бир бирдиктен утуу ыктымалдуулугуматематикаЫктымалдуулукЖыйынтыктын мүмкүнчүлүгү, 0дөн 1ге чейин же 0%дан 100%га чейин. Бир сан: 1/37 = 2,70%.Толук окуу → p = 18/37 жана утулуу ыктымалдуулугу q = 19/37 болгон бирдей төлөмдүү коюмгакоюмБирдей төлөмдүү коюмКызыл/кара, так/жуп, чоң/кичине. 18 сан, 1:1 төлөйт.Толук окуу → коёсуз. Нөлгө жеткенге чейин максатка жетүү мүмкүнчүлүгүңүз кандай? Жоопту 1650-жылдары Паскаль, Ферма жана Гюйгенс чыгарышкан, бул ыктымалдуулук теориясындагы эң эски жыйынтыктардын бири.
Оюнчунун банкроттугу формуласы
P(максатка жетүү) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Банкроттук тобокелдигиматематикаБанкроттук тобокелдигиМаксатка же айлануулардын санына жеткенге чейин бүт оюн капиталын жоготуу ыктымалдуулугу.Толук окуу → — бирден ушуну кемиткенге барабар. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 болгондо катыш бирдиктердин санына жараша экспоненциалдуу өсөт, ошондуктан формула кичине бирдиктерди катуу жазалайт: максатка жетүү үчүн канча көп коюм керек болсо, жолдо 2,70% салык ошончо көп жолу төлөнөт.
Аны кантип окуу керек
Кичине бирдиктер зыян келтирет. $500дү $10дон коюмдар менен эки эселөөгө аракет 6% учурда ийгиликтүү болот; бир $500 коюм менен 48,6% учурда. Тайманбас оюн, азыраак жана чоңураак коюмдар, терс күтүүлүү оюнда максатка жетүү мүмкүнчүлүгүн максималдаштырат, анткени артыкчылык колдонулган жолдордун санын минималдаштырат. Ал ошондой эле сиз менен эмне болорунун дисперсиясынматематикаДисперсияЖыйынтыктар күтүлгөн маанинин тегерегинде канчалык кеңири чачырай турганынын өлчөмү. Бир санга коюмда жогору, бирдей төлөмдүү коюмдарда төмөн.Толук окуу → максималдаштырат жана кечти тез бүтүрөт. Бул теорема «тайманбас оюн оптималдуу» деп аталат, аны 1965-жылы Дубинс жана Сэвидж далилдешкен.
Маселе кайдан башталган
Бул суроо рулеткадан да эски. 1656-жылы Паскаль Фермага табышмак берген: эки оюнчу үч сөөк ыргытат, ар бири 12 жетондон баштайт; 11 түшсө бир жетон бир тарапка жылат, 14 түшсө башка тарапка. Экөө тең аны чечишкен, ал эми бул тууралуу математик Пьер де Каркавинин катынан уккан Гюйгенс аны 1657-жылы ыктымалдуулук жөнүндөгү биринчи китептин бешинчи маселеси катары жооп менен, бирок далилсиз басып чыгарган. Он бирди 27 жол менен ыргытууга болот, он төрттү 15 жол менен гана, ошондуктан ар бир жетон биринчи оюнчунун тарабына 14 жолудан 9 жолу жылат, жана жогорудагы формула, ар биринде 12 жетон менен, анын баарын утуп алуу ыктымалдуулугу баарын жоготуудан болжол менен 1 157 эсе жогору экенин көрсөтөт. 2,70% артыкчылык алда канча кичине, бирок ошол эле формула анын көп коюмда эмне кыларын көрсөтөт.
Чыныгы тайманбас коюм
2004-жылдын апрелинде жаш англичанин Эшли Ревелл дээрлик бардык мүлкүн, кийимдерин кошо сатып, $135 300 менен Лас-Вегастагы Plaza’га барган. Бир нече майда коюмдан кийин ал бүт сумманы бир жолу кызылгакоюмКызыл18 кызыл санга бирдей төлөмдүү коюм. Французча: rouge.Толук окуу → койгон. ТопжабдыкТопРоторго каршы жол боюнча ыргытылуучу кичинекей топ. Заманбап топтор айвориндон же тефлондон, 18–21 мм.Толук окуу → кызыл 7ге түшүп, ал $270 600 менен чыгып кеткен. Кош нөлдүүдөңгөлөкНөлБир да бирдей төлөмдүү, дюжина же тилке коюму жаппаган жалгыз жашыл уяча; казинонун артыкчылыгынын булагы. Дагы: жалгыз нөл, 0.Толук окуу → дөңгөлөктө ошол бир айлануу 47,37% мүмкүнчүлүк болгон жана ага орто эсеп менен $7 121ге турган, бул бир коюмдагы 5,26% артыкчылык. $10дон коюмдарга бөлүштүрүлсө, ошол эле максат дээрлик үмүтсүз болмок. Тайманбас оюн коюмду жакшы кылбайт; ал аны мүмкүн болушунча кыска кылат.
Максатсыз банкроттук тобокелдиги
Эгер сиз жөн гана банкрот болгонго чейин ойносоңуз же N айлануудан кийин токтосоңуз, суроо «оюн капиталым N айлануунун ичинде нөлгө тийүү мүмкүнчүлүгү кандай?» болуп калат. Жалпы N үчүн жабык формула жок, бирок бул сайттагы симуляторлор аны эсептейт: кызылга $10дон коюлган $500 оюн капиталы 100 айланууда дээрлик эч качан банкрот болбойт (1%дан аз), 500 айланууда болжол менен 9% учурда, 5 000 айланууда болжол менен 95% учурда банкрот болот. Токтоо эрежеси жок болсо ыктымалдуулук 100%га умтулат, бул казинонун артыкчылыгынынматематикаКазинонун артыкчылыгыАр бир коюмдан казино орто эсеп менен кармап калган үлүш: европалык рулеткада 2,70%.Толук окуу → узак мөөнөттөгү версиясы.
- p10 −$500
- p25 −$500
- медиана −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Канча убакыт жана канча алдыда
Дагы эки классикалык жыйынтык оюнчулар чындыгында берген суроолорго жооп берет. Максат жок болсо, туруктуу бирдей төлөмдүү коюмдар европалык дөңгөлөктө оюн капиталынын ар бир бирдигине орто эсеп менен 37 айлануу, америкалыкта 19 айлануу созулат, анткени ар бир айлануу орто эсеп менен бирдиктин 1/37син алат (америкалык дөңгөлөктө 1/19ун): 100 бирдик орто эсеп менен 3 700 айлануу созулат, бирок мындай сессиялардын жарымы 3 134 айланууга жетпей бүтөт (Сессиянын узактыгы жана баасы бетин караңыз). Жана оюн капиталы канчалык чоң болбосун, европалык дөңгөлөктө качандыр бир кезде k бирдик алдыда болуу мүмкүнчүлүгү (18/19)ᵏ. Бул бир бирдик үчүн 95%, он бирдик үчүн 58%, бирок эч бир оюн капиталы, канчалык терең болбосун, качандыр бир кезде 13 бирдик пайдада болууга тең мүмкүнчүлүк бербейт; америкалык дөңгөлөктө мүмкүнчүлүк (9/10)ᵏ жана 7 бирдикте жарымдан төмөн түшөт.
Сессиянын узактыгы жана баасыАмерикалык рулетканын дөңгөлөгү жана эрежелери
Тең мүмкүнчүлүк үчүн оюн капиталы
Суроону тескерисинче коёлу: баарын жоготконго чейин белгилүү бир сумманы утуп алууга жок дегенде тең мүмкүнчүлүк болушу үчүн канча алып келишиңиз керек? Кичине утуш үчүн — анча көп эмес. Чоңураак утуш үчүн керектүү оюн капиталы кескин өсөт, жана белгилүү бир чектен кийин эч бир оюн капиталы жетишсиз, анткени чексиз капитал да качандыр бир кезде ошончолук алдыга чыгууга тең мүмкүнчүлүктөн азыраак берет. Тейлор (2021) муну башкача айтат: америкалык дөңгөлөктө 100 бирдикке жетүүгө тең мүмкүнчүлүк болушу үчүн 94 менен баштоо керек, 6ны утуп алуу үчүн 94тү тобокелге салып. Европалык дөңгөлөктө 88 керек болмок.
Практикалык сабак
Эмне кылууга аракет кылып жатканыңызды чечиңиз. Эгер максат белгилүү бир утуш болсо, чоң жана аз коюңуз. Эгер максат узак кеч болсо, кичине коюп, артыкчылык чоң жүгүртүүнүнакчаЖүгүртүүСессия же мезгил ичинде коюлган жалпы сумма, кайра коюлган утуштарды кошо. Дагы: handle, action.Толук окуу → 2,70%ын алаарын кабыл алыңыз. Эгер максат экөө тең болсо, бирөөсүнөн баш тартууга туура келет, жана адатта бул максат.
Формула
Суроолор
МартингейлстратегияМартингейлАр бир жоготуудан кийин коюмду эки эсе көбөйтүүчү прогрессия. Ал эмне кылат жана эмне кылбайт — Стратегия бөлүмүн караңыз.Толук окуу → аны кыска сессиялар үчүн азайтат жана узун сессиялар үчүн кескин көбөйтөт. Чоңураак бирдик менен туруктуу коюмстратегияТуруктуу коюмАр бир айланууда бирдей сумманы коюу. Ар бир прогрессия салыштырылуучу негиз.Толук окуу → — аны азайтуунун чынчыл жолу.
Жогорудагы формула бирдей төлөм үчүн. Жогорку дисперсиялуу коюмдарда кичине коюмдар менен банкрот болуу ыктымалыраак жана максатка бир калыпсызыраак жол менен жетишет; калькуляторду колдонуңуз.
Максатка карай ар бир кадам банкротко карай ар бир кадамдан бир аз азыраак ыктымал; катыш кадамдардын саны боюнча топтолот.
Математика менен оюн
Адегенде өзүңүз чечип көрүңүз. Ар бир чечим жашырылган; даяр болгондо ачыңыз.
Сизде $100 бар, $1 000 кылгыңыз келет, жана кызылгакоюмКызыл18 кызыл санга бирдей төлөмдүү коюм. Французча: rouge.Толук окуу → гана коёсуз. Биринчи план: $1дан коюу. Экинчи план: $500дөн ашканча колуңуздагынын баарын коюу, андан кийин $1 000го жеткенге жетиштүү гана коюу. Кайсы план жакшыраак жана канчалык?
Чечимди көрсөтүү
Жооп Экинчи план, алда канча. Ал $1 000го убакыттын болжол менен 9,0%ында жетет, бул адилеттүү 10%га жакын. Биринчи план 10²² аракеттин болжол менен 7синде ийгиликке жетет.
Адилеттүү оюндаматематикаАдилет оюнЭч бир тарапта артыкчылык жок оюн: ар бир коюмдун күтүлгөн мааниси нөлгө барабар.Толук окуу → эмне кылсаңыз да, $100дөн $1 000го ондон бир жолу жетмексиз, анткени акчаңыздын орточо баасы $100 бойдон калат.
Артыкчылык ар бир коюмдун 2,70%ын алат, ошондуктан жалпысынан канчалык аз койсоңуз, ондон бирге ошончолук жакын каласыз. Экинчи план маселени бир нече коюм менен чечет: $100 $200, $400, $800 болот, андан кийин $200 жетиштүү. Ал убакыттын болжол менен 9,0%ында ийгиликке жетет. Биринчи план жол бүткөнчө миңдеген коюмду талап кылат, жана ар биринде кичине болгон артыкчылык дээрлик сөзсүз банкротко чейин топтолот.
Бул Dubins–Savage натыйжасынын эң жөнөкөй түрү (Epstein, 2013): казинону жактаган оюнда канча керек болсо ошончо коюңуз, мүмкүн болушунча аз жолу.
Сизде $500 бар, $1 000 кылгыңыз келет жана ага жеткенде эле токтойсуз. Бир түрдөгү коюмду тандап, ал бир жолу утканча же акча түгөнгөнчө кайталайсыз. Кайсы түрү эң жакшы мүмкүнчүлүк берет?
Чечимди көрсөтүү
Жооп Кызылга бир $500 коюм: 48,6%. Акчаны кичине коюмдарга бөлгөн ар бир план начарыраак.
Ар бир коюмдун суммасын бир утуш жетиштүү болгондой тандаңыз: бир санга коюмгакоюмБир санга коюмБир сан, 35:1 төлөйт.Толук окуу → $30 $1 050 утат, эки санга коюмгакоюмЭки санга коюмЖанаша турган эки сан, 17:1 төлөйт.Толук окуу → $60 $1 020 утат, жана башкалар. Андан кийин акча түгөнгөнгө чейин жок дегенде бир коюм утуп чыгуу мүмкүнчүлүгүн эсептеңиз. Бир санга он алты $30 коюмдун баары (36/37)¹⁶ = 64,5% мүмкүнчүлүк менен утулат, демек алар $1 000го убакыттын 35,5%ында жетет.
Таблица ар бир коюмду көрсөтөт. Кызыл эң жакшы, анткени ал бир коюм менен жетет, демек артыкчылык бир жолу, $500дөн төлөнөт. Алты санга коюмкоюмАлты санга коюмЖанаша эки катардагы алты сан, 5:1 төлөйт. Французча: sixain.Толук окуу → экинчи, анткени ага үч гана коюм керек. Бир дюжинагакоюмДюжина1–12, 13–24 же 25–36, 2:1 төлөйт.Толук окуу → коюм эң начар, 12/37 мүмкүнчүлүк; $1 000 же андан көп болгонго чейин $250 бирдиктеракчаБирдикСистема же оюнчу иштеген негизги коюм. Прогрессиялар каалаган үстөлдө колдонулушу үчүн бирдиктер менен сүрөттөлөт.Толук окуу → менен ойногондо да, дюжина убакыттын 46,4%ында гана жетет.
Bollman (2024) ошол эле таблицаны америкалык дөңгөлөк үчүн түзөт. Анын дюжина сабында ката бар: 12/38 = 31,6% болушу керек.
коюмкоюмдун суммасы × коюмдардын саны$1 000го жетүү мүмкүнчүлүгүБир санга коюм$30 × 1635,5%Эки санга коюм$60 × 835,9%Катарга коюм$90 × 534,5%Бурч коюму$125 × 436,7%Алты санга коюм$166, $166, $16841,2%Дюжина$500 × 132,4%Кызыл$500 × 148,6%Сиз эч качан түгөнбөгөн оюн капиталыакчаОюн капиталыОюнга бөлүнгөн жалпы сумма. Оюн капиталын башкаруу — анын канчасын бир коюмга жана бир сессияга тобокелге салууну чечүү.Толук окуу → менен айлануудан айланууга кызылга бир бирдик коёсуз. Биринчи айлануудан кийин бир бирдик утушта же бир бирдик утулушта болосуз. Качандыр бир кезде кайра так нөлгө чыгуу мүмкүнчүлүгү кандай?
Чечимди көрсөтүү
Жооп 37ден 36, 97,3%. Америкалык дөңгөлөктө 38ден 36, 94,7%.
Биринчи айлануу утса (37ден 18 жолу), сиз бир бирдик утуштасыз, ал эми артыкчылык ар бир чексиз сессияны төмөн тартат, демек эртеби-кечпи кайра нөл аркылуу өтөсүз: бул сөзсүз. Утулса (37ден 19 жолу), бир бирдик көтөрүлүшүңүз керек, ал эми качандыр бир кезде бир бирдик алдыда болуу мүмкүнчүлүгү 18/19 (жогорудагы таблицаны караңыз).
Бирге: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Жалпысынан мүмкүнчүлүк 1 минус айлануунун утуу жана утулуу мүмкүнчүлүктөрүнүн айырмасы: европалык дөңгөлөктө 1 − 1/37, америкалыкта 1 − 2/38. НөлүдөңгөлөкНөлБир да бирдей төлөмдүү, дюжина же тилке коюму жаппаган жалгыз жашыл уяча; казинонун артыкчылыгынын булагы. Дагы: жалгыз нөл, 0.Толук окуу → жок оюнда айырма жок жана мүмкүнчүлүк 1: эсеп дайыма нөлгө кайтат. Epstein (2013) жалпы эрежени берет.
Паскалдын 1656-жылкы табышмагы: эки оюнчу үч сөөк ыргытат, ар бири 12 жетондон баштайт. Ар бир 11 бир жетонду биринчи оюнчуга, ар бир 14 бир жетонду экинчисине өткөрөт; башка ыргытуулар эсепке алынбайт. Биринчи оюнчу бардык 24үн утуп алышы канчалык ыктымал? Ал эми анын ордуна банктын ролун аткарган досуңузга каршы ар бир айланууда кызылга 1 бирдик койсоңуз, ар бириңизде 12 бирдиктен, бардык 24үн утуп алышыңыз канчалык ыктымал?
Чечимди көрсөтүү
Жооп Биринчи оюнчу болжол менен 1 158 жолунун 1 157синде утат. Сиз кызыл менен бардык 24 бирдикти убакыттын болжол менен 34%ында гана утасыз.
Үч сөөк 11ди 27 жол менен, 14тү 15 жол менен берет, демек жылган ар бир жетон биринчи оюнчуга 42ден 27 жолу, 14төн 9 жолу өтөт. Ар бир тарап 12ден баштаганда бардыгын утуп алуу мүмкүнчүлүгү 1/(1 + r¹²), мында r — каршы тараптын мүмкүнчүлүгүнүн сиздикине катышы.
Биринчи оюнчу үчүн r = 5/9, жана (5/9)¹² ≈ 0,00086, демек мүмкүнчүлүк болжол менен 0,99914: коэффициенттер 9¹² ге 5¹², же 282 429 536 481ге 244 140 625, болжол менен 1 157ге 1. Гюйгенс 1657-жылы так ушул сандарды басып чыгарган.
Кызылда нөлдүн айынан r = 19/18, жана (19/18)¹² ≈ 1,913: сиздин мүмкүнчүлүгүңүз 1/2,913 ≈ 34,3%. Тыйын 50% бермек. Ар бир коюмдагы 2,70% артыкчылык керектүү көп коюмдардын ичинде 16 пункттук айырмага чейин топтолот.
Күлкүлүү тыныгуу
Тайманбас оюн оптималдуу. Ал ошондой эле тез бүтөт.
Булактар
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”