Рулетка математикасы · Колдонмо · 8 мүн

Келли критерийи жана рулетка

Келли критерийи артыкчылыгы бар оюнчуга канча коюу керектигин айтат. Рулетка үчүн ал так жооп берет: эч нерсе.

Кыска жооп

Келли коюму = артыкчылык / коэффициент. Терс артыкчылыкта формула терс үлүштү берет, бул коюм койбоо дегенди билдирет. Критерий ооп кеткен дөңгөлөктөр менен ойногондор эмне үчүн коюмдарын ошондой өлчөмдө коюшканын жана калгандардын баары эмне үчүн коюмду бюджет боюнча аныкташы керектигин түшүнүү үчүн дагы эле пайдалуу.

Келли үлүшү
f* = (bp − q) / b
кызыл үчүн
(1 × 18/37 − 19/37) / 1 = −1/37
түшүндүрмө
эч нерсе коюлбайт
1/30 уяча үчүн
≈ оюн капиталынын +0,6%ы

Критерий

Джон Келли (1956) белгилүү артыкчылыгы бар оюнчу оюн капиталынынакчаОюн капиталыОюнга бөлүнгөн жалпы сумма. Оюн капиталын башкаруу — анын канчасын бир коюмга жана бир сессияга тобокелге салууну чечүү.Толук окуу → узак мөөнөттөгү өсүшүн максималдаштыруу үчүн коюмдарын кандай өлчөмдө коюшу керек деп сураган. b:1 төлөгөн, утуш ыктымалдуулугуматематикаЫктымалдуулукЖыйынтыктын мүмкүнчүлүгү, 0дөн 1ге чейин же 0%дан 100%га чейин. Бир сан: 1/37 = 2,70%.Толук окуу → p жана утулуу ыктымалдуулугу q = 1 − p болгон коюм үчүн жооп: оюн капиталынын f* = (bp − q) / b үлүшүн коюу. Оң f* ошол үлүштү коюу дегенди билдирет; нөл же терс болсо, коюм коюлбайт. Келли Bell Labs’та иштеген, анын «A new interpretation of information rate» макаласы маселени Клод Шеннондун маалымат теориясына койгон: ызы-чуулуу линия аркылуу кеңеш алган оюнчу адилет коэффициенттерде оюн капиталын эң жакшы дегенде линия маалымат өткөргөн ылдамдыкта гана өстүрө алат. 1961-жылы Лео Брейман Келли боюнча коюу узак мөөнөттө ар кандай олуттуу башкача стратегиядан алдыда бүтөрүн жана коюлган максатка болжол менен эң кыска убакытта жетерин далилдеген.

Оюнчу ызы-чуулуу линия аркылуу кеңештерди угуп, оюн капиталынын бир бөлүгүн коёт.

Рулеткада Келли боюнча коюу

КызылкоюмКызыл18 кызыл санга бирдей төлөмдүү коюм. Французча: rouge.Толук окуу → үчүн: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Бир санга коюмкоюмБир санга коюмБир сан, 35:1 төлөйт.Толук окуу → үчүн: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Ар бир стандарттык коюм терс Келли үлүшүн берет, анткени ар бир коюмдун артыкчылыгы терс, жана өсүш үчүн оптималдуу коюм нөлгө барабар. Рулеткада Келли боюнча коюу казинонун артыкчылыгы бети айткан нерсенин формалдуу айтылышы: терс күтүлгөн маанидеги коюм оюн капиталын өстүрө турган өлчөм жок.

коюмbpf* = (bp − q)/bмааниси
кызыл, европалык118/37−0,027коюм койбоңуз
кызыл, la partage118/37 (нөлдө +½)−0,0135коюм койбоңуз
бир санга коюм351/37−0,00077коюм койбоңуз
1/30 уячага бир санга коюм (ооп кеткен)351/30+0,0057оюн капиталынын 0,57%ын коюңуз
1/25 уячага бир санга коюм351/25+0,0126оюн капиталынын 1,26%ын коюңуз

Келли чындап колдонулган жерлер

Ооп кеткен дөңгөлөктөр менен ойногондордун артыкчылыгы да, коюмдун өлчөмү маселеси да бар эле. Джаггер, Гарсиа-Пелайостор жана Эвдемондор өлчөнгөн артыкчылыгына канча коюу керектигин чечиши керек болчу: аз коюу артыкчылыкты текке кетирет, ал эми ашыкча коюу артыкчылык көрүнгөнгө чейин банкротко учуратышы мүмкүн. 30дан 1 жолу түшкөн уячажабдыкУячаРотордогу 37 номерленген уячанын бири. Дагы: тешик, чөйчөк.Толук окуу → үчүн Келли ошол санга ар бир айланууда оюн капиталынын 0,57%ын коюуну айтат: $10 000 менен бир айланууга болжол менен $57, бир айланууга типтүү өсүш болжол менен 0,054%, же 1 000 айланууда ×1,7. Орточо пайда андан эки эсе көп, бир айланууга 0,11%, бирок Келли бир нече ийгиликтүү серия көбөйтүп жиберген орточо капиталды эмес, типтүү капиталды көздөйт. Жарым Келли адатта практикалык тандоо, анткени артыкчылыктын баасы так эмес.

Бир санга коюмдагы Келли коюму оюн капиталынын %ы катары, уячанын чыныгы жыштыгы боюнча%
1/37 (адилет)
0% · коюм койбоңуз
1/35
0,08%
1/33
0,26%
1/30
0,57%
1/25
1,26%
1/20
2,0%
%
012,0%
Чоң ооп кетүү да кичине коюмдарды талап кылат: төлөм узун, дисперсия жогору.

Атактуу рулетка оюнчуларыЭвдемондор

Типтүү жана орточо

Типтүү оюн капиталы менен орточонун ортосундагы айырма чоң. 25тен 1 жолу түшкөн уячаны алалы, артыкчылык 44%, Торп өзүнүн түзмөгү үчүн келтирген көрсөткүч. Келли ага оюн капиталынын 1,26%ын коёт. 1 000 айлануудан кийин типтүү оюн капиталы болжол менен 11,5 эсе өсөт, ал эми бир нече өтө ийгиликтүү серия өйдө тарткан орточо болжол менен 249 эсе өсөт. Келлиден көп коюу орточону көтөрөт жана типтүү натыйжаны төмөндөтөт: Келли коюмунун эки эсесинде типтүү оюн капиталы эки эсе гана өсөт, ал эми Келли коюмунун эки жарым эсесинде ал кичирейет, ар бир коюм дагы эле 44% артыкчылыкка ээ болсо да. Азыраак коюу аз чыгым алып келет: коюмдун жарымы өсүштүн болжол менен төрттөн үчүн сактайт.

коюм, Келлинин үлүшүкоюм, оюн капиталынын %ы1 000 айлануудан кийинки типтүү оюн капиталы
½0,63%× 6,7
11,26%× 11,5
1½1,89%× 7,4
22,51%× 2,2
2½3,14%× 0,38
33,77%× 0,04
25тен 1 жолу түшкөн, 35:1 төлөнгөн бир уяча. Типтүү деген медиана, e нин бир айланууга өсүштүн 1 000 эсеси даражасы.

Артыкчылык болжол гана болгондо

Келли артыкчылык белгилүү деп эсептейт. Үстөлдө ал бааланат, жана баа адатта өтө жогору болот. Эпштейндин Торптун 44%ына негизделген мисалы: кош нөлдүүдөңгөлөкНөлБир да бирдей төлөмдүү, дюжина же тилке коюму жаппаган жалгыз жашыл уяча; казинонун артыкчылыгынын булагы. Дагы: жалгыз нөл, 0.Толук окуу → дөңгөлөктүн 1 225 айлануусунда 49 жолу түшкөн сан: 25тен 1 жолу, 44% артыкчылык, Келли коюму 1,26%. Бирок адилет кош нөлдүү дөңгөлөктө 38 сан бар, жана алардын эң көп түшкөнү 1 225 айланууда болжол менен тогуздан бир учурда 49 же андан көп жолу түшөт. Ар кандай жазуудагы эң көп түшкөн сан ошондой эле ийгилик эң көп жардам берген сан, ошондуктан чындап ооп кеткен уяча да жазууда чындыгындагыдан жакшыраак көрүнөт: жеңүүчүнүн каргышы. Эгер ал уяча чындыгында ооп кетпеген болсо, Келли коюму жөн гана орто эсеп менен 5,26% утулган коюм. Адаттагы жооптор: Келлинин бир бөлүгүн коюу жана артыкчылык жаңы жазууда сакталганга чейин санай берүү («Рулетка дөңгөлөгүнүн ооп кетүүсүн кантип аныктоо керек» бетин караңыз).

Артыкчылыгы бар адамдар

Артыкчылыкты билүү аны жакшы колдонуу дегенди билдирбейт. Хагани жана Дьюи (2016) 61 адамга $25тен берип, 60% учурда «бүркүт» түшөт деп айтылган тыйынга жарым саат коюм коюуну сунушташкан, утуштар $250 менен чектелген (оюнчулар чек тууралуу ага жеткенде гана билишкен). Келли ар бир жолу «бүркүткө» оюн капиталынын 20%ын коюуну айтат, ал эми авторлор 10–20% туруктуу коюмдар болжол менен 95% учурда чекке жетет деп баалашат. Оюнчулардын 21%ы гана жетти. 28%ы банкрот болду, 61дин 18и бардыгын бир ыргытууга койду, болжол менен үчтөн бири баштагы $25тен азыраак менен бүттү, ал эми орточо төлөмакчаТөлөмУтуучу коюм эмне кайтарат, кайтарылган коюмдун үстүнө «X:1» деп көрсөтүлөт.Толук окуу → $91 болду. 61дин бешөө гана Келли критерийи тууралуу уккан. Артыкчылык бар болгондо коюмдардын өлчөмү аны сактап каласызбы же жокпу ошону чечет; артыкчылык жок болсо, адилет дөңгөлөктөгүдөй, эч кандай өлчөм жардам бербейт.

Бир оюнчу бардыгын бир ыргытууга коёт, ал эми анын коңшусу кичинекей үлүштү коёт.

Анын ордуна эмнени колдонуу керек

Артыкчылык жок болсо, коюмдун өлчөмү өсүш маселеси эмес, бюджет маселеси: коюм = бир айланууга сарптоого даяр сумма, саатына бюджеттен жана үстөлдүн темпинен чыгарылат («Рулеткада оюн капиталын башкаруу» бети). Келлинин кадимки оюнчуга кошкон салымы — жообунун тактыгы: нөл. Нөлдөн жогору койгон ар бир нерсе ойноонун баасы, аны сиз өзүңүз тандайсыз, эч кандай формула оптималдаштырбайт.

Бөлчөк Келли жана «акчаны башкаруу» жөнүндө эскертүү

«Рулетка үчүн Келли» деп сатылган, ар бир коюмга оюн капиталынын туруктуу пайызын сунуштаган системалар — кичирейүүчү коюм менен туруктуу коюмстратегияТуруктуу коюмАр бир айланууда бирдей сумманы коюу. Ар бир прогрессия салыштырылуучу негиз.Толук окуу →. Алар жүгүртүүнүнакчаЖүгүртүүСессия же мезгил ичинде коюлган жалпы сумма, кайра коюлган утуштарды кошо. Дагы: handle, action.Толук окуу → 2,70%ын жоготушат жана коюм утулган сайын кичирейгендиктен, банкротту ыктымалдуулугу аз кылбайт, жай гана кылат. Бул бюджетти узакка жеткирүүнүн акылга сыярлык жолу; бирок бул Келли эмес, Келли токтоону айтмак.

Туруктуу коюм рулетка стратегиясы

Формула

f* = (b·p − q) / b
кызыл: f* = −1/37 · бир санга коюм: f* = −1/1295
r жыштыгындагы ооп кеткен уяча: f* = (35r − (1 − r)) / 35

Суроолор

Келли качандыр бир рулеткага коюуну айтабы?

Ооп кеткен дөңгөлөктөнлабораторияОоп кеткен дөңгөлөкФизикалык кемчиликтеринен улам айрым уячалары 1/37ден ыктымалыраак болгон дөңгөлөк. Сейрек кездешет, миңдеген жазылган айлануулар менен гана аныкталат.Толук окуу → же убакыт өлчөөчү түзмөктөн алынган өлчөнгөн артыкчылык болгондо гана. Адилет дөңгөлөктө эмес.

Эмне үчүн жарым Келли?

Анткени артыкчылыктын баасында ката бар, жана ашыкча коюу аз коюудан кымбатыраак. Жарым Келли дисперсиянынматематикаДисперсияЖыйынтыктар күтүлгөн маанинин тегерегинде канчалык кеңири чачырай турганынын өлчөмү. Бир санга коюмда жогору, бирдей төлөмдүү коюмдарда төмөн.Толук окуу → төрттөн биринде өсүштүн төрттөн үчүн берет.

Келли оюн капиталын башкаруу менен бирдейби?

Жок. Келли артыкчылык бар болгондо өсүштү оптималдаштырат. Оюн капиталын башкаруу артыкчылык жок болгондо чыгымды көзөмөлдөйт.

Математика менен оюн

Адегенде өзүңүз чечип көрүңүз. Ар бир чечим жашырылган; даяр болгондо ачыңыз.

  1. Торп менен Шеннондун болжолдоо түзмөгү болжол менен 44% артыкчылык берген. Болжолдонгон бир санга Келли оюн капиталынынакчаОюн капиталыОюнга бөлүнгөн жалпы сумма. Оюн капиталын башкаруу — анын канчасын бир коюмга жана бир сессияга тобокелге салууну чечүү.Толук окуу → 1,26%ын коюуну айтат. Ошол эле 44% артыкчылык беш кошуна санга бөлүнгөн бир коюмда болсочу?

    Чечимди көрсөтүү

    Жооп Анда Келли оюн капиталынын 7,1%ын айтат, жана оюн капиталы дээрлик алты эсе тез өсөт: 1 000 коюмда болжол менен 1,25 миллион эсе, ал эми тигинде болжол менен 11,5 эсе.

    44% артыкчылыгы бар бир санга коюмкоюмБир санга коюмБир сан, 35:1 төлөйт.Толук окуу → 0,04 мүмкүнчүлүк менен утат, анткени 36 × 0,04 = 1,44. Келлинин коюму — артыкчылыкты коэффициентке бөлгөнү: 0,44/35 = 1,26%. Бир коюмдагы типтүү өсүш 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, демек 1 000 коюм оюн капиталын болжол менен e^2,44 ≈ 11,5 эсе көбөйтөт.

    Бир коюмду беш санга бөлсөңүз, коюм 0,20 мүмкүнчүлүк менен утат жана 1ге 36/5, башкача айтканда 6,2 ге 1 төлөйт: артыкчылык дагы эле 44%, анткени 0,2 × 7,2 = 1,44. Келлинин коюму 0,44/6,2 = 7,10% болот, ал эми бир коюмдагы өсүш 0,01404, болжол менен 5,75 эсе көп. 1 000 коюмда бул e^14,04, болжол менен 1,25 миллион.

    Артыкчылык ошол эле; тербелүүлөр кичирээк. Беш жолунун биринде уткан коюм банкротко тобокел кылбай оюн капиталынын чоңураак үлүшүн көтөрө алат, жана Келлинин өсүшү муну сыйлайт. Thorp (1984) бул мисал менен болжолдоочу оюнчулар эмне үчүн секторлоргодөңгөлөкСекторДөңгөлөктөгү уячалардын үзгүлтүксүз жаасы, коюм талаасындагы топтон айырмаланат.Толук окуу → коёрун көрсөтөт. Иш жүзүндө беш кошунанынкоюмКошуналарСан жана дөңгөлөктө анын эки тарабындагы экиден уяча, беш бир санга коюм фишкасы.Толук окуу → артыкчылыгы эң жакшы бир сандыкынан бир аз төмөн (Рулеткада артыкчылык менен ойноо бетин караңыз).

  2. Оюнчу 37ден 1 эмес, 25тен 1 жолу түшкөн эки кошуна уячаныжабдыкУячаРотордогу 37 номерленген уячанын бири. Дагы: тешик, чөйчөк.Толук окуу → тапты. Алардын ортосундагы эки санга коюмдукоюмЭки санга коюмЖанаша турган эки сан, 17:1 төлөйт.Толук окуу → 17 ге 1 менен коюш керекпи, же ар бир санга өзүнчө бир санга коюмму? Келли канча айтат, жана оюн капиталы ушундай бир уячага салыштырмалуу канчалык тез өсөт?

    Чечимди көрсөтүү

    Жооп Айырмасы жок: эки санга коюмга оюн капиталынын 2,59%ы, же ар бир санга 1,29%. Типтүү оюн капиталы 1 000 айланууда болжол менен 155 эсе өсөт, бир уяча менен болсо 11,5 эсе.

    Эки санга коюм 2/25 = 0,08 ыктымалдуулукматематикаЫктымалдуулукЖыйынтыктын мүмкүнчүлүгү, 0дөн 1ге чейин же 0%дан 100%га чейин. Бир сан: 1/37 = 2,70%.Толук окуу → менен утат жана 17 ге 1 төлөйт, демек коюлган ар бир бирдиккеакчаБирдикСистема же оюнчу иштеген негизги коюм. Прогрессиялар каалаган үстөлдө колдонулушу үчүн бирдиктер менен сүрөттөлөт.Толук окуу → 18 × 0,08 = 1,44 кайтарат: артыкчылык 44%, бир ооп кеткен уячадагыдай. Келлинин коюму — артыкчылыкты коэффициентке бөлгөнү: 0,44/17 = 2,59%.

    Ар бири 1,29%дан эки бир санга коюм так ошол эле натыйжаларды берет. Эки сандын бири түшкөндө бир фишкаакчаФишкаБелгиленген сумманы билдирген жетон, коюм коюу үчүн коюм талаасына коюлат. Дагы: check.Толук окуу → 35 ке 1 утат, экинчиси жоголот, таза натыйжа оюн капиталынын 34 × 1,29% = 44%ы, эки санга коюм төлөгөндөй; экөө тең түшпөсө, экөө тең жоголот.

    Бир айлануудагы өсүш 0,00505, бир уячада 0,00244, демек 1 000 айланууда типтүү оюн капиталы e^2,44 ≈ 11,5 эсе эмес, e^5,046 ≈ 155 эсе өсөт. Эки жакшы сан бир сандын эки эселенгенинен алда канча баалуу, ошондуктан ооп кетүүнү издеген оюнчулар сандардын топторуна коюшат. Thorp (1984) ошол эле салыштырууну эсептейт.

Күлкүлүү тыныгуу

Рулеткадагы өсүш үчүн оптималдуу коюм — баары эле билген сан.

Рулеткадагы өсүш үчүн оптималдуу коюм — баары эле билген сан.

Булактар

  1. Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.” Bell System Technical Journal 35(4), 1956.
  2. Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.” Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1-том, 1961.
  3. Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
  4. Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
  5. Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
  6. Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
  7. Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13-бөлүм, рулетка.
  8. Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.” Жумушчу документ, 2016-жылдын октябры; SSRN 2856963, arXiv:1701.01427.
Рулеткадагы коюм стратегияларыРулеткада оюн капиталын башкарууРулетка лабораториясыРулетка дөңгөлөгүнүн ооп кетүүсүРулетка лабораториясыРулеткада артыкчылык менен ойнооРулетка лабораториясыРулетка компьютерлериРулетка математикасыБанкроттук тобокелдиги
2026-09-28 текшерилгенмодель: европалык, бир нөлметодология ↗булактар ↗