Узак мөөнөттөгү жакындашуу: рулеткадагы чоң сандар мыйзамы
Орточо маани −2,70%ке кантип жакындайт жана эмне үчүн бул интуиция ойлогондон узакка созулат.
Бир айланууга туура келген орточо жоготуу айлануулар көбөйгөн сайын −1/37ге жакындайт, ал эми чачырандылык 1/√N сыяктуу кичирейет. Кызылга 1 000 айлануудан кийин орточо көрсөткүч адатта күтүлгөн мааниден ±3% чегинде болот.
Чоң сандар мыйзамы
Көз карандысыз коюмдардын топтолуучу орточосу күтүлгөн маанигематематикаКүтүлгөн мааниУзак мөөнөттө бир коюмга туура келген орточо жыйынтык. Ар бир стандарттык европалык коюм үчүн коюмдун −1/37 бөлүгү.Толук окуу → умтулат. Бир бирдиктенакчаБирдикСистема же оюнчу иштеген негизги коюм. Прогрессиялар каалаган үстөлдө колдонулушу үчүн бирдиктер менен сүрөттөлөт.Толук окуу → N бирдей төлөмдүү айлануудан кийин бир айланууга туура келген орточо натыйжанын күтүлгөн мааниси −1/37, ал эми стандарттык четтөөсүматематикаСтандарттык четтөөДисперсиянын квадраттык тамыры; жыйынтыктын күтүлгөн мааниден типтүү алыстыгы.Толук окуу → 1/√N. N = 100 болгондо бул чачырандылык коюмдун 10%ы, бул 2,7% сигналдан дээрлик төрт эсе көп. N = 1 000 болгондо ал 3,2%, болжол менен сигналга барабар. N = 10 000 болгондо 1%, жана артыкчылык ачык көрүнөт. Бир сессияда артыкчылык көрүнбөйт, ал эми бир жылда талашсыз болот.
Эмне жакындайт, эмне жакындабайт
Бир айланууга туура келген орточо жакындайт. Жалпы сумма жакындабайт: N өскөн сайын ал нөлдөн алыстай берет, күтүлгөн мааниде N дин болжол менен 2,7%ына, анын тегерегинде √N чачырандылык менен. $10дон 10 000 айлануу ойногон оюнчу орто эсеп менен $2 700 утулат деп күтүлөт, ±$1 000. КызылдардынкоюмКызыл18 кызыл санга бирдей төлөмдүү коюм. Французча: rouge.Толук окуу → топтолуучу үлүшү эчак эле 48,65% тегерегинде турукташкан; топтолуучу баланс эч жерде турукташкан жок.
- p10 −$440
- p25 −$280
- медиана −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Эмне үчүн интуиция жаңылат
Адамдар артыкчылык тез көрүнөт деп күтүшөт, анткени 2,70% көп угулат, жана узун сериялар «теңелет» деп күтүшөт, анткени чоң сандар мыйзамыматематикаЧоң сандар мыйзамыСыноолордун саны өскөн сайын көз карандысыз жыйынтыктардын орточосу күтүлгөн мааниге жакындайт.Толук окуу → орточолор жакындайт дейт. Эки интуиция тең масштабды туура эмес баалайт: артыкчылык бир айлануунун дисперсиясынаматематикаДисперсияЖыйынтыктар күтүлгөн маанинин тегерегинде канчалык кеңири чачырай турганынын өлчөмү. Бир санга коюмда жогору, бирдей төлөмдүү коюмдарда төмөн.Толук окуу → салыштырмалуу кичине (σ = 1 бирдик, EV = 0,027), ошондуктан ал бир сигма деңгээлинде көрүнүшү үчүн (1/0,027)² ≈ 1 400 айлануу керек. Ал эми орточонун жакындашы жалпы сумманы артка тартпайт; ал өткөн термелүүлөрдү гана суюлтат.
Башка коюмдар үчүн жакындашуу
Бир санга коюмдаркоюмБир санга коюмБир сан, 35:1 төлөйт.Толук окуу → үчүн σ = 5,84, ошондуктан ушул эле эсептөө артыкчылык бир сигмага жетиши үчүн (5,84/0,027)² ≈ 47 000 айланууны берет. Бир санга коюучу оюнчу өз жазууларында артыкчылыкты ийгиликтен айырмалай албай жылдар бою ойной алат, бирок ал аны бир нече жуманын ичинде көргөн кызылга коюучу оюнчу сыяктуу эле так ошол 2,70%ды төлөйт.
Системаларды текшерүү үчүн жыйынтык
Системасы иштейт деп ырастаган ар бир адам аны 10 000 же андан көп айланууда документтелген оң орточо менен көрсөтө алышы керек. 1 000 айланууда бирдей төлөмдүү коюмдагы оң орточо нөл гипотезасы боюнча беш мүмкүнчүлүктүн бири; 100 айланууда бул дээрлик тыйын ыргытуу. Бул сайттагы симуляторлор сиз тандаган узундуктагы 2 000 сессияны бир секундада иштетет, бул ар кандай күбөлөндүрүүдөн көбүрөөк далил.
Формула
Суроолор
Ойногон сайын кайра утушта болуунун ыктымалдуулугуматематикаЫктымалдуулукЖыйынтыктын мүмкүнчүлүгү, 0дөн 1ге чейин же 0%дан 100%га чейин. Бир сан: 1/37 = 2,70%.Толук окуу → нөлгө карай азаят. Жалпы сумма чексиз төмөн жылат.
Жок. Бул өткөн термелүүлөр чоңураак тандоонун кичирээк үлүшүнө айланат дегенди билдирет.
Бирдей төлөмдүү коюм үчүн артыкчылык ачык көрүнгөнгө чейин болжол менен 10 000. Бир санга коюмдар үчүн болжол менен 50 000.
Математика менен оюн
Адегенде өзүңүз чечип көрүңүз. Ар бир чечим жашырылган; даяр болгондо ачыңыз.
Эки дос адилеттүү оюндунматематикаАдилет оюнЭч бир тарапта артыкчылык жок оюн: ар бир коюмдун күтүлгөн мааниси нөлгө барабар.Толук окуу → 20 раундун ойношот, тыйын ыргытуу же нөлдөрдөңгөлөкНөлБир да бирдей төлөмдүү, дюжина же тилке коюму жаппаган жалгыз жашыл уяча; казинонун артыкчылыгынын булагы. Дагы: жалгыз нөл, 0.Толук окуу → кайтарылган кызылкоюмКызыл18 кызыл санга бирдей төлөмдүү коюм. Французча: rouge.Толук окуу → менен каракоюмКара18 кара санга бирдей төлөмдүү коюм. Французча: noir.Толук окуу →, жана эсепти улам жүргүзүп турушат. Ар бири алдыда болгон раунддарды эсептеңиз (тең эсеп ага чейин алдыда болгон тарапка эсептелет). Кайсынысы ыктымалыраак: алдыда болуу 10 раундга 10 раунд болуп бөлүнүшүбү, же бир дос бардык 20сында алдыда болушубу?
Чечимди көрсөтүү
Жооп Бир достун бардык 20 раундда алдыда болушу алда канча ыктымал: каалаган досту эсептегенде 35,2%, ал эми тең 10го 10 үчүн 6,1%.
Адилеттүү эсептин 2k раунддан кийин тең болуу мүмкүнчүлүгү u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 раунддан кийин 0,246 жана 20 раунддан кийин 0,176. Классикалык натыйжа, арксинус мыйзамы, аталган бир достун 2n раунддун так 2k раундунда алдыда болуу мүмкүнчүлүгү u(2k) × u(2n − 2k) экенин айтат.
Бардык 20сында алдыда болуу: ар бир дос үчүн u(20) × u(0) = 0,176, каалаган бири үчүн 35,2%. Тең бөлүнүү: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, бардык бөлүнүүлөрдүн эң аз ыктымалы.
Демек адилеттүү оюнда алдыңкы орун сейрек колдон колго өтөт. Кечке алдыда же кечке артта болгон оюнчу эч кандай адаттан тыш нерсе көргөн жок, жана бул дөңгөлөк же чеберчилик жөнүндө эч нерсе айтпайт. Epstein (2013) ушул эле мыйзамды узунураак оюндар үчүн берет: убакыттын жарымында ийгиликтүүрөөк тарап оюндун 85%ынан көбүндө алдыда болот.
Күлкүлүү тыныгуу
Орточо жакындайт. Жалпы сумма жөн эле кетип калат.
Булактар
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.